Inversion et division - Corrigé

Énoncé

On pose  \(z_1=1-4i\) et \(z_2=3+i\) .
Écrire sous forme algébrique les nombres complexes  \(\dfrac{1}{z_1}\) et \(\dfrac{z_1}{z_2}\) .

Solution

• On a :
  \(\begin{align*} \frac{1}{z_1} =\frac{1}{1-4i} =\frac{1}{1-4i} \times \frac{1+4i}{1+4i} =\frac{1+4i}{1^2+4^2} =\frac{1+4i}{1+16} =\frac{1+4i}{17}. \end{align*}\)
•  On a : \(\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} =\frac{1-2i}{3+i} =\frac{1-2i}{3+i} \times \frac{3-i}{3-i} =\frac{(1-2i)(3-i)}{3^2+1^2} =\frac{3-i-6i-2}{9+1} =\frac{1-7i}{10}. \end{align*}\)